Twierdzenie jest proste. Mamy ciąg, który trudno nam wyliczyć. Ale jeżeli znajdziemy mniejszy ciąg, który zbiega do jakiejś liczby (lub rozbiega do nieskończoności) i większy ciąg, który zbiega do tej samej liczby (lub tej samej nieskończoności) - to nasz ciąg musi zbiegać/rozbiegać do tego samego. Tyle.
To... do jakich ciągów to stosować?
Do takich jak poniższym obrazku. Mamy pierwiastek n-tego stopnia, a pod nim sumę elementów (każdy do n-tej potęgi):
A jak znaleźć "większy" i "mniejszy" ciąg, który będzie zbieżny do tego samego?
Rozważmy powyższe przykłady:
11. Bierzemy większy ze składników pod pierwiastkiem, czyli: (5^n)
- Jak zostawimy samo (5^n), nic do niego nie dodając - to będzie mniej
- Jak pomnożymy to (5^n) przez 2, to będzie więcej
A to, że jakąś (a^n) pomnożymy przez jakąś liczbę (dodatnią, >1), nie ma znaczenia! (Ta liczba będzie maleć do 1-nki!)
Bo: (pierwiastek n-tego stopnia) z (liczby dodatniej, większej od 1) dąży do (1), gdy (n -> oo).
12. Podobnie. Bierzemy największy składnik: (4/5) i odpowiednio:
- zostawiamy samo (4/5) - mniejszy ciąg
- mnożymy (4/5) przez 3 (bo były 3 składniki) - większy ciąg.
A mnożenie przez liczbę nie zmienia granicy!
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz