Po ludzku: Funkcje elementarne

1. Na obrazku mamy zestawienie głównych funkcji elementarnych (poza trygonometrycznymi):
- po lewej potęgowe (podnosimy x do potęgi lub go pierwiastkujemy),
- po prawej wykładnicze (podnosimy liczbę do x-a lub go logarytmujemy).

2. Funkcje można określić jako:
- parzyste - kiedy lewa strona wykresu jest lustrzanym odbiciem prawej (np. wykresy 1 i 3)
- nieparzyste - kiedy jak wbijemy w punkt (0,0) gwoździa i zakręcimy wykresem jak śmigłem (o 2 ćwiartki), to będzie wyglądał tak samo (np. wykresy 2, 4, 6, i 12).

3. Funkcje (a także odpowiadające im ciągi) mogą:
- dążyć do nieskończoności - czyli im bardziej w prawo tym wyżej idą (np. wykresy 1, 3, 4, 5, 6, 9)/
- dążyć do minus nieskończoności - czyli im bardziej w prawo tym niżej idą (np. wykresy 11 i 2'').

4. Jeżeli funkcja f(x) rośnie do nieskończoności, to -f(x) będzie malała do nieskończoności (np. wykresy 2 i 2''):
- f(x)=x, wartości: 1, 2, 3, 4, 5... 1000...
- f(x)=-x, wartości: -1, -2, -3, -4, -5, ... -1000...

5. Jeżeli funkcja rośnie do nieskończoności, to 1/f(x) będzie maleć do 0 (np. wykresy 2 i 12):
- f(x) = x, wartości: 1, 2, 3, 4, 5... 1000...
- f(x) = 1/x, wartości: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... 1/1000...

6. Poniżej przybliżenia poszczególnych części rysunku:

6.1. Funkcje potęgowe (i pierwiastki) - rosną do nieskończoności. Potęgi szybciej, pierwiastki wolniej. 

- Zauważmy, że pierwiastków parzystego stopnia nie wyciągamy z liczb ujemnych (wykres 5. zwykły pierwiastek to pierwiastek 2-giego stopnia - czyli parzystego). 

- Dlaczego? bo 2*2 = 4, a (-2)*(-2) = 4. Nie można pomnożyć liczby przez siebie samą tak, by wyszła liczba ujemna. Chyba, że pomnożymy ją nieparzystą ilość razy: (-2)*(-2)*(-2) = -8.

(Ok, można wyciągnąć parzysty pierwiastek z liczby ujemnej - ale gdy operujemy na liczbach zespolonych.) 

6.2. Funkcja homograficzna różni się od poprzednich:

- Im dalej na prawo (czyli dla x: 1, 2, 3... 1000...) tym bardziej dąży do 0 (a nie do nieskończoności). Czyli jest zbieżna do 0! 

- Idąc od prawej strony wykresu, im bliżej zera (czyli dla x: 1/2, 1/3, 1/4... 1/1000...) tym bardziej dąży do nieskończoności.

- A idąc od lewej strony, im bliżej zera (oznaczamy to: 0-), tym bardziej dąży do minus 

nieskończoności.

6.3. Funkcje wykładnicze (jeżeli ich podstawa jest > 1, wykres 9) rosną szybciej niż potęgowe:

- f(x) = x^2: wartości: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...

- f(x) = 2^x: wartości: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

- Logarytm jest odwrotnością potęgowania. log2(8) oznacza: "do której potęgi mam podnieść 2, by wyszło 8). Log2(8) = 3, bo 2^3 = 8.

6.4. Wykresy 2', 2'', 3', 12' pokazują zmodyfikowane funkcje potęgowe (porównaj odpowiednio z wykresami 2, 3 i 12).
- Jeżeli funkcja jest sumą (5x^2+4x+3) znaczenie ma składnik przy najwyższej potędze (i jego znak: +/-).
- To, że dodamy do funkcji coś mniejszego (+4x+3) - nie zmieni ogólnego kształtu wykresu, po prostu go trochę nachyli/przesunie.

Po co to wszystko? By liczyć granice ciągów (i funkcji)!