Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #1 - dzielimy przez najwyższą potęgę

1. Pierwszy typ ciągów.

Mamy ułamek, jakieś sumy, n do jakichś potęg.W takim przypadku:

- Bierzemy największą potęgę n, jaką znajdziemy - i wszystkie składniki dzielimy przez tę potęgę n.
- Innymi słowy - wyciągamy (n^a) przed nawias i skracamy.

Teraz:
-  wszystkie ułamki typu: 1/(n^2), 5/n - dążą do zera. Pamiętasz działania na nieskończonościach z ostatniego wpisu? Dowolna liczba podzielona przez nieskończoność dąży do 0. A nasze "n" dąży właśnie do nieskończoności.

Pamiętasz wpis "Funkcje elementarne", punkt 7.4? Wyjaśniałam, że przy takich funkcjach liczy się tylko to, co jest przy najwyższej potędze, reszta nie ma znaczenia. I właśnie to pokazujemy, dzieląc przez najwyższą potęgę! Wszystkie inne składniki będą "dążyć do zera"!

Tak więc, w przykładach z powyższego rysunku:
1.1. Największa potęga jest zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Więc zostaną tylko liczby, które stoją przy tej potędze: 1/2.
1.2. Najwyższa potęga jest w mianowniku - więc ciąg będzie maleć do zera.
1.3. Najwyższa potęga jest w liczniku (i ma znak dodatni) - więc ciąg będzie rosnąć do plus nieskończoności!

2. A jak nad wszystkim jest pierwiastek?

Nic się nie zmienia. Dzielimy przez najwyższą potęgę. Zostają nam liczby, które przy tej najwyższej potędze stały. Tyle tylko, że tu je pierwiastkujemy.

3. A... jak zamiast "n do 2" będzie "2 do n"? Robimy to samo! Skracamy przez to, co najszybciej rośnie: