Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #2 - z wzoru a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

A co, jeżeli mamy przypadek jak poniżej? Odejmujemy od siebie dwie funkcje i jedna (lub obie) mają pierwiastek...

Spójrzmy na przykład 1. Zarówno pierwszy pierwiastek i drugi pierwiastek dąży do nieskończoności. Ale nie wiadomo ile to jest nieskończoność minus nieskończoność (wszystko zależy od tego, która nieskończoność jest większa :) ).
- Gdyby było dodawanie - nie ma problemu. Nieskończoność + nieskończoność = nieskończoność. A tutaj?
A tutaj korzystamy z przydatnego wzoru:

Spójrzmy po kolei na powyższe ciągi:

4. Mamy ciąg typu (a-b). ( a=sqrt(n+3), b=sqrt(n), sqrt oznacza pierwiastek):
- Mnożymy go przez 1 (to zawsze możemy zrobić). Tyle, że 1 zapisujemy jako (a+b)/(a+b).
- Licznik przekształcamy z wzoru. Czyli mamy a^2 - b^2. Pozbyliśmy się pierwiastków
- A w mianowniku mamy a+b. Czyli to, od czego wychodziliśmy, ale z plusem.
- W liczniku mamy stałą liczbę. Mianownik dąży do nieskończoności. Czyli całość dąży do 0.

Czy można było prościej? Tak. Ta 3-jka we wzorze nie ma znaczenia (ma znaczenie tylko to, co jest przy największej potędze n). Sprawdźmy, podstawiając pod n rosnące liczby:
- Jak n=1, to mamy: sqrt(4) - sqrt(1) = 3
- Jak n=7, to mamy: sqrt(9) - sqrt(7) = 3-2.65 = 0.35
- Jak n będzie coraz większe, np. n=10000, to będziemy mieli sqrt(10003) - sqrt(10000), czyli 100,015-100 = 0,15
Ta różnica stale maleje... aż dojdzie do 0.

5. Podobny przykład, ale teraz 3-jak jest w miejscu, gdzie ma znaczenie! Całość dąży do oo.

6. Przykład podobny do 1-szego. Różnice zaczynają się w 2giej linii:
- Zrobiliśmy to, co wcześniej i wychodzi nam -oo / oo, czyli symbol nieoznaczony. Co dalej?
- W liczniku wyciągamy n przed nawias.
- W mianowniku wyciągamy n^2 przed nawias pod pierwiastkiem. I wyciągamy go przed pierwiastek jako n (bo sqrt((n^2)*a) = sqrt(n^2)*sqrt(a)* = n*sqrt(a)).
- N skracamy. Zostaje nam nieskończoność w liczniku i stała liczba w mianowniku.

Chwila chwila! Wcześniej przy takich wzorach wyciągaliśmy największą potęgę n! A teraz największa potęga to n^2, a my wyciągamy n! Dlaczego?
W praktyce nie ma znaczenia, czy skrócimy przez najwyższą, czy "drugą najwyższą" potęgę n:
- Jak skrócimy przez najwyższą potęgę - to zostanie nam jedna liczba, a reszta się skróci do "zera"
- Jak skrócimy przez "drugą najwyższą" - to zostanie nam jedno n (czyli nieskończoność), a reszta się skróci do zera lub stałych liczb.

Gdybyśmy w przykładzie 1.6 zamiast (n) wyciągnęli przed nawiasy (n^2), to w liczniku zostałoby -7, a mianownik dążyłby do zera - czyli całość wciąż dążyłaby do -oo!