Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #3 - z wzoru na "e"

Kolejny zestaw typowych zadań opiera się na wzór na "e". 

"E" to pewna konkretna liczba (liczba Eulera) i wynosi mniej więcej 2,7. 

Przejdźmy do zadań. W przypadku punktów 4 i 5 z poniższego obrazka nie ma problemów:

4. N w nawiasie rośnie, podniesione do n-tej potęgi rośnie jeszcze bardziej. Więc całość rośnie do nieskończoności (ściślej mówiąc: "ciąg jest rozbieżny do nieskończoności").

5. Tu również nie ma problemów. (1/n) maleje (1, 1/2, 1/3... 1/1000). A jak podniesiemy do potęgi liczbę dodatnią mniejszą od 1 (np. 1/2), to ona jeszcze bardziej zmaleje (1/2)^2 = (1/4), (1/10)^2 = (1/100). Więc ciąg jest zbieżny do zera!

Problem pojawia się dalej. W zielonej ramce mamy wzór, który trzeba po prostu zapamiętać.

Jeżeli:

- mamy w nawiasie liczbę, która maleje (x jest w mianowniku!), 

- ale jest > 1 (żeby nie było za prosto),

- i podnosimy ją do coraz większej potęgi (x w potędze)

to to jednocześnie maleje (zawartość nawiasu) i rośnie (bo potęgujemy). 

Okazuje się, że taka funkcja jest zbieżna - do bardzo konkretnej liczby: e^k.

Jak z tego korzystać? Jeżeli zobaczymy coś, co wygląda mniej więcej jak ten wzór - znaczy, że trzeba przekształcać, aż zacznie wyglądać dokładnie jak ten wzór! 

Po kolei:

7. Bezpośrednie wykorzystanie wzoru.

8, 9.  Musimy tak przekształcić tą potęgę, by nawias był podniesiony do potęgi "n" (a dokładniej - do takiej samej potęgi, jaki jest mianownik w nawiasie).
Korzystamy z wzorów:
- x^(a+b) = (x^a)*(x^b), np.: 2^(2+1) = 2*2*2 = (2*2)*2 = (2^2)*(2^1)
- x^(a*b) = (x^a)^b, np. 2^(2*3) = 2^6  = 2*2*2*2*2*2 = (2*2)*(2*2)*(2*2) = (2*2)^3 = (2^2)^3.
- x^(-a) = 1/(x^a), z definicji ujemnej potęgi.

10. Trudniejszy przypadek:
- Nie mamy 1+1/coś... tylko zwykły ułamek. Więc "wyciągamy" naszą jedynkę.
- Nasz licznik można zapisać jako (mianownik) +/- coś. W tym wypadku (n+1) = (n-1)+2. I można wyciągnąć jedynkę (bo (a+b)/c = a/c + b/c)
- Kolejny problem! w mianowniku mamy (n-1), a w potędze (-n).
- Nasz wzór wciąż zadziała, jeżeli w potędze będzie to, co w mianowniku (czyli n-1).
- Zamieniamy potęgę... wpierw ze wzoru z poprzedniego punktu wyciągnijmy -1 poza nawias...
- A teraz możemy rozbić nasze "n" w potędze:  n = (n-1)+1...
- I przekształcamy ze wzorów!

Czy można trochę prościej? Można:
- Środek nawiasu musimy przekształcić, żeby wiedzieć, jaką liczbą jest "k"
- Ale potęgi... znaczenie ma tylko liczba stojąca przy n! Czyli jak mamy w potędze:
-- 3n+1 - to będzie e^(k*3)
-- -n+15 - to będzie e^(-1*k) = 1/(e^k)
-- -3n-10 - to będzie e^(-3*k) = 1/(e^3k)