Test
sobota, 20 kwietnia 2024
niedziela, 21 stycznia 2018
Sałatka makaronowa ze wszystkim
W domu nigdy nie jedliśmy sałatek. Dodatkiem do obiadu mogła być fasolka, sałata, pomidory, mizeria. Ale sałatka jako danie nie istniało. No, z wyjątkiem sałatki jarzynowej na święta - ale ta nigdy nie podbiła mojego serca :)
Gdy wyjechałam z rodzinnego miasta, odkryłam inną kuchnię. Zakochałam się w sałatce greckiej ze Sphinksa. Do tej pory nie potrafię jej odtworzyć. Składniki nie stanowią problemu, ale ich sos jest mistrzostwem świata!
Natomiast na imprezach zaczęły pojawiać się sałatki zupełnie innego rodzaju. I jak wszyscy zajadali się karkówką lub kurczakiem z grilla lub domową pizzą... ja zajadałam sałatki.
Oto moje ostatnie odkrycie. Składniki:
1. Makaron drobny, ugotowany al dente.
2. Por (tak, koniecznie)
3. Seler naciowy (daje chrupkość!)
4. Groszek z marchewką
5. Kukurydza
6. Szynka
7. Ser żółty (osobiście polecam Radamera)
8. Majonez, Musztada (odrobinę)
9. Pieprz (dużo).
Wymieszać (proporcje wedle uznania) i można cieszyć się lekkim, pełnowartościowym posiłkiem! :)
Gdy wyjechałam z rodzinnego miasta, odkryłam inną kuchnię. Zakochałam się w sałatce greckiej ze Sphinksa. Do tej pory nie potrafię jej odtworzyć. Składniki nie stanowią problemu, ale ich sos jest mistrzostwem świata!
Natomiast na imprezach zaczęły pojawiać się sałatki zupełnie innego rodzaju. I jak wszyscy zajadali się karkówką lub kurczakiem z grilla lub domową pizzą... ja zajadałam sałatki.
Oto moje ostatnie odkrycie. Składniki:
1. Makaron drobny, ugotowany al dente.
2. Por (tak, koniecznie)
3. Seler naciowy (daje chrupkość!)
4. Groszek z marchewką
5. Kukurydza
6. Szynka
7. Ser żółty (osobiście polecam Radamera)
8. Majonez, Musztada (odrobinę)
9. Pieprz (dużo).
Wymieszać (proporcje wedle uznania) i można cieszyć się lekkim, pełnowartościowym posiłkiem! :)
niedziela, 17 grudnia 2017
Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #4 - z twierdzenia o trzech ciągach
Kolejna porcja zadań - oparta o "Twierdzenie o 3 świnkach ciągach".
Twierdzenie jest proste. Mamy ciąg, który trudno nam wyliczyć. Ale jeżeli znajdziemy mniejszy ciąg, który zbiega do jakiejś liczby (lub rozbiega do nieskończoności) i większy ciąg, który zbiega do tej samej liczby (lub tej samej nieskończoności) - to nasz ciąg musi zbiegać/rozbiegać do tego samego. Tyle.
To... do jakich ciągów to stosować?
Do takich jak poniższym obrazku. Mamy pierwiastek n-tego stopnia, a pod nim sumę elementów (każdy do n-tej potęgi):
A jak znaleźć "większy" i "mniejszy" ciąg, który będzie zbieżny do tego samego?
Rozważmy powyższe przykłady:
11. Bierzemy większy ze składników pod pierwiastkiem, czyli: (5^n)
- Jak zostawimy samo (5^n), nic do niego nie dodając - to będzie mniej
- Jak pomnożymy to (5^n) przez 2, to będzie więcej
A to, że jakąś (a^n) pomnożymy przez jakąś liczbę (dodatnią, >1), nie ma znaczenia! (Ta liczba będzie maleć do 1-nki!)
Bo: (pierwiastek n-tego stopnia) z (liczby dodatniej, większej od 1) dąży do (1), gdy (n -> oo).
12. Podobnie. Bierzemy największy składnik: (4/5) i odpowiednio:
- zostawiamy samo (4/5) - mniejszy ciąg
- mnożymy (4/5) przez 3 (bo były 3 składniki) - większy ciąg.
A mnożenie przez liczbę nie zmienia granicy!
Twierdzenie jest proste. Mamy ciąg, który trudno nam wyliczyć. Ale jeżeli znajdziemy mniejszy ciąg, który zbiega do jakiejś liczby (lub rozbiega do nieskończoności) i większy ciąg, który zbiega do tej samej liczby (lub tej samej nieskończoności) - to nasz ciąg musi zbiegać/rozbiegać do tego samego. Tyle.
To... do jakich ciągów to stosować?
Do takich jak poniższym obrazku. Mamy pierwiastek n-tego stopnia, a pod nim sumę elementów (każdy do n-tej potęgi):
A jak znaleźć "większy" i "mniejszy" ciąg, który będzie zbieżny do tego samego?
Rozważmy powyższe przykłady:
11. Bierzemy większy ze składników pod pierwiastkiem, czyli: (5^n)
- Jak zostawimy samo (5^n), nic do niego nie dodając - to będzie mniej
- Jak pomnożymy to (5^n) przez 2, to będzie więcej
A to, że jakąś (a^n) pomnożymy przez jakąś liczbę (dodatnią, >1), nie ma znaczenia! (Ta liczba będzie maleć do 1-nki!)
Bo: (pierwiastek n-tego stopnia) z (liczby dodatniej, większej od 1) dąży do (1), gdy (n -> oo).
12. Podobnie. Bierzemy największy składnik: (4/5) i odpowiednio:
- zostawiamy samo (4/5) - mniejszy ciąg
- mnożymy (4/5) przez 3 (bo były 3 składniki) - większy ciąg.
A mnożenie przez liczbę nie zmienia granicy!
Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #3 - z wzoru na "e"
Kolejny zestaw typowych zadań opiera się na wzór na "e".
"E" to pewna konkretna liczba (liczba Eulera) i wynosi mniej więcej 2,7.
Przejdźmy do zadań. W przypadku punktów 4 i 5 z poniższego obrazka nie ma problemów:
4. N w nawiasie rośnie, podniesione do n-tej potęgi rośnie jeszcze bardziej. Więc całość rośnie do nieskończoności (ściślej mówiąc: "ciąg jest rozbieżny do nieskończoności").
5. Tu również nie ma problemów. (1/n) maleje (1, 1/2, 1/3... 1/1000). A jak podniesiemy do potęgi liczbę dodatnią mniejszą od 1 (np. 1/2), to ona jeszcze bardziej zmaleje (1/2)^2 = (1/4), (1/10)^2 = (1/100). Więc ciąg jest zbieżny do zera!
Problem pojawia się dalej. W zielonej ramce mamy wzór, który trzeba po prostu zapamiętać.
Jeżeli:
- mamy w nawiasie liczbę, która maleje (x jest w mianowniku!),
- ale jest > 1 (żeby nie było za prosto),
- i podnosimy ją do coraz większej potęgi (x w potędze)
to to jednocześnie maleje (zawartość nawiasu) i rośnie (bo potęgujemy).
Okazuje się, że taka funkcja jest zbieżna - do bardzo konkretnej liczby: e^k.
Jak z tego korzystać? Jeżeli zobaczymy coś, co wygląda mniej więcej jak ten wzór - znaczy, że trzeba przekształcać, aż zacznie wyglądać dokładnie jak ten wzór!
Po kolei:
7. Bezpośrednie wykorzystanie wzoru.
8, 9. Musimy tak przekształcić tą potęgę, by nawias był podniesiony do potęgi "n" (a dokładniej - do takiej samej potęgi, jaki jest mianownik w nawiasie).
Korzystamy z wzorów:
- x^(a+b) = (x^a)*(x^b), np.: 2^(2+1) = 2*2*2 = (2*2)*2 = (2^2)*(2^1)
- x^(a*b) = (x^a)^b, np. 2^(2*3) = 2^6 = 2*2*2*2*2*2 = (2*2)*(2*2)*(2*2) = (2*2)^3 = (2^2)^3.
- x^(-a) = 1/(x^a), z definicji ujemnej potęgi.
10. Trudniejszy przypadek:
- Nie mamy 1+1/coś... tylko zwykły ułamek. Więc "wyciągamy" naszą jedynkę.
- Nasz licznik można zapisać jako (mianownik) +/- coś. W tym wypadku (n+1) = (n-1)+2. I można wyciągnąć jedynkę (bo (a+b)/c = a/c + b/c)
- Kolejny problem! w mianowniku mamy (n-1), a w potędze (-n).
- Nasz wzór wciąż zadziała, jeżeli w potędze będzie to, co w mianowniku (czyli n-1).
- Zamieniamy potęgę... wpierw ze wzoru z poprzedniego punktu wyciągnijmy -1 poza nawias...
- A teraz możemy rozbić nasze "n" w potędze: n = (n-1)+1...
- I przekształcamy ze wzorów!
Czy można trochę prościej? Można:
- Środek nawiasu musimy przekształcić, żeby wiedzieć, jaką liczbą jest "k"
- Ale potęgi... znaczenie ma tylko liczba stojąca przy n! Czyli jak mamy w potędze:
-- 3n+1 - to będzie e^(k*3)
-- -n+15 - to będzie e^(-1*k) = 1/(e^k)
-- -3n-10 - to będzie e^(-3*k) = 1/(e^3k)
Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #2 - z wzoru a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
A co, jeżeli mamy przypadek jak poniżej? Odejmujemy od siebie dwie funkcje i jedna (lub obie) mają pierwiastek...
Spójrzmy na przykład 1. Zarówno pierwszy pierwiastek i drugi pierwiastek dąży do nieskończoności. Ale nie wiadomo ile to jest nieskończoność minus nieskończoność (wszystko zależy od tego, która nieskończoność jest większa :) ).
- Gdyby było dodawanie - nie ma problemu. Nieskończoność + nieskończoność = nieskończoność. A tutaj?
A tutaj korzystamy z przydatnego wzoru:
Spójrzmy po kolei na powyższe ciągi:
4. Mamy ciąg typu (a-b). ( a=sqrt(n+3), b=sqrt(n), sqrt oznacza pierwiastek):
- Mnożymy go przez 1 (to zawsze możemy zrobić). Tyle, że 1 zapisujemy jako (a+b)/(a+b).
- Licznik przekształcamy z wzoru. Czyli mamy a^2 - b^2. Pozbyliśmy się pierwiastków
- A w mianowniku mamy a+b. Czyli to, od czego wychodziliśmy, ale z plusem.
- W liczniku mamy stałą liczbę. Mianownik dąży do nieskończoności. Czyli całość dąży do 0.
Czy można było prościej? Tak. Ta 3-jka we wzorze nie ma znaczenia (ma znaczenie tylko to, co jest przy największej potędze n). Sprawdźmy, podstawiając pod n rosnące liczby:
- Jak n=1, to mamy: sqrt(4) - sqrt(1) = 3
- Jak n=7, to mamy: sqrt(9) - sqrt(7) = 3-2.65 = 0.35
- Jak n będzie coraz większe, np. n=10000, to będziemy mieli sqrt(10003) - sqrt(10000), czyli 100,015-100 = 0,15
Ta różnica stale maleje... aż dojdzie do 0.
5. Podobny przykład, ale teraz 3-jak jest w miejscu, gdzie ma znaczenie! Całość dąży do oo.
6. Przykład podobny do 1-szego. Różnice zaczynają się w 2giej linii:
- Zrobiliśmy to, co wcześniej i wychodzi nam -oo / oo, czyli symbol nieoznaczony. Co dalej?
- W liczniku wyciągamy n przed nawias.
- W mianowniku wyciągamy n^2 przed nawias pod pierwiastkiem. I wyciągamy go przed pierwiastek jako n (bo sqrt((n^2)*a) = sqrt(n^2)*sqrt(a)* = n*sqrt(a)).
- N skracamy. Zostaje nam nieskończoność w liczniku i stała liczba w mianowniku.
Chwila chwila! Wcześniej przy takich wzorach wyciągaliśmy największą potęgę n! A teraz największa potęga to n^2, a my wyciągamy n! Dlaczego?
W praktyce nie ma znaczenia, czy skrócimy przez najwyższą, czy "drugą najwyższą" potęgę n:
- Jak skrócimy przez najwyższą potęgę - to zostanie nam jedna liczba, a reszta się skróci do "zera"
- Jak skrócimy przez "drugą najwyższą" - to zostanie nam jedno n (czyli nieskończoność), a reszta się skróci do zera lub stałych liczb.
Gdybyśmy w przykładzie 1.6 zamiast (n) wyciągnęli przed nawiasy (n^2), to w liczniku zostałoby -7, a mianownik dążyłby do zera - czyli całość wciąż dążyłaby do -oo!
- Gdyby było dodawanie - nie ma problemu. Nieskończoność + nieskończoność = nieskończoność. A tutaj?
A tutaj korzystamy z przydatnego wzoru:
Spójrzmy po kolei na powyższe ciągi:
4. Mamy ciąg typu (a-b). ( a=sqrt(n+3), b=sqrt(n), sqrt oznacza pierwiastek):
- Mnożymy go przez 1 (to zawsze możemy zrobić). Tyle, że 1 zapisujemy jako (a+b)/(a+b).
- Licznik przekształcamy z wzoru. Czyli mamy a^2 - b^2. Pozbyliśmy się pierwiastków
- A w mianowniku mamy a+b. Czyli to, od czego wychodziliśmy, ale z plusem.
- W liczniku mamy stałą liczbę. Mianownik dąży do nieskończoności. Czyli całość dąży do 0.
Czy można było prościej? Tak. Ta 3-jka we wzorze nie ma znaczenia (ma znaczenie tylko to, co jest przy największej potędze n). Sprawdźmy, podstawiając pod n rosnące liczby:
- Jak n=1, to mamy: sqrt(4) - sqrt(1) = 3
- Jak n=7, to mamy: sqrt(9) - sqrt(7) = 3-2.65 = 0.35
- Jak n będzie coraz większe, np. n=10000, to będziemy mieli sqrt(10003) - sqrt(10000), czyli 100,015-100 = 0,15
Ta różnica stale maleje... aż dojdzie do 0.
5. Podobny przykład, ale teraz 3-jak jest w miejscu, gdzie ma znaczenie! Całość dąży do oo.
6. Przykład podobny do 1-szego. Różnice zaczynają się w 2giej linii:
- Zrobiliśmy to, co wcześniej i wychodzi nam -oo / oo, czyli symbol nieoznaczony. Co dalej?
- W liczniku wyciągamy n przed nawias.
- W mianowniku wyciągamy n^2 przed nawias pod pierwiastkiem. I wyciągamy go przed pierwiastek jako n (bo sqrt((n^2)*a) = sqrt(n^2)*sqrt(a)* = n*sqrt(a)).
- N skracamy. Zostaje nam nieskończoność w liczniku i stała liczba w mianowniku.
Chwila chwila! Wcześniej przy takich wzorach wyciągaliśmy największą potęgę n! A teraz największa potęga to n^2, a my wyciągamy n! Dlaczego?
W praktyce nie ma znaczenia, czy skrócimy przez najwyższą, czy "drugą najwyższą" potęgę n:
- Jak skrócimy przez najwyższą potęgę - to zostanie nam jedna liczba, a reszta się skróci do "zera"
- Jak skrócimy przez "drugą najwyższą" - to zostanie nam jedno n (czyli nieskończoność), a reszta się skróci do zera lub stałych liczb.
Gdybyśmy w przykładzie 1.6 zamiast (n) wyciągnęli przed nawiasy (n^2), to w liczniku zostałoby -7, a mianownik dążyłby do zera - czyli całość wciąż dążyłaby do -oo!
Po ludzku: Granice ciągów. Zadania #1 - dzielimy przez najwyższą potęgę
1. Pierwszy typ ciągów.
Mamy ułamek, jakieś sumy, n do jakichś potęg.W takim przypadku:
- Bierzemy największą potęgę n, jaką znajdziemy - i wszystkie składniki dzielimy przez tę potęgę n.
- Innymi słowy - wyciągamy (n^a) przed nawias i skracamy.
Teraz:
- wszystkie ułamki typu: 1/(n^2), 5/n - dążą do zera. Pamiętasz działania na nieskończonościach z ostatniego wpisu? Dowolna liczba podzielona przez nieskończoność dąży do 0. A nasze "n" dąży właśnie do nieskończoności.
Pamiętasz wpis "Funkcje elementarne", punkt 7.4? Wyjaśniałam, że przy takich funkcjach liczy się tylko to, co jest przy najwyższej potędze, reszta nie ma znaczenia. I właśnie to pokazujemy, dzieląc przez najwyższą potęgę! Wszystkie inne składniki będą "dążyć do zera"!
Tak więc, w przykładach z powyższego rysunku:
1.1. Największa potęga jest zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Więc zostaną tylko liczby, które stoją przy tej potędze: 1/2.
1.2. Najwyższa potęga jest w mianowniku - więc ciąg będzie maleć do zera.
1.3. Najwyższa potęga jest w liczniku (i ma znak dodatni) - więc ciąg będzie rosnąć do plus nieskończoności!
2. A jak nad wszystkim jest pierwiastek?
Nic się nie zmienia. Dzielimy przez najwyższą potęgę. Zostają nam liczby, które przy tej najwyższej potędze stały. Tyle tylko, że tu je pierwiastkujemy.
3. A... jak zamiast "n do 2" będzie "2 do n"? Robimy to samo! Skracamy przez to, co najszybciej rośnie:
- Bierzemy największą potęgę n, jaką znajdziemy - i wszystkie składniki dzielimy przez tę potęgę n.
- Innymi słowy - wyciągamy (n^a) przed nawias i skracamy.
Teraz:
- wszystkie ułamki typu: 1/(n^2), 5/n - dążą do zera. Pamiętasz działania na nieskończonościach z ostatniego wpisu? Dowolna liczba podzielona przez nieskończoność dąży do 0. A nasze "n" dąży właśnie do nieskończoności.
Pamiętasz wpis "Funkcje elementarne", punkt 7.4? Wyjaśniałam, że przy takich funkcjach liczy się tylko to, co jest przy najwyższej potędze, reszta nie ma znaczenia. I właśnie to pokazujemy, dzieląc przez najwyższą potęgę! Wszystkie inne składniki będą "dążyć do zera"!
Tak więc, w przykładach z powyższego rysunku:
1.1. Największa potęga jest zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Więc zostaną tylko liczby, które stoją przy tej potędze: 1/2.
1.2. Najwyższa potęga jest w mianowniku - więc ciąg będzie maleć do zera.
1.3. Najwyższa potęga jest w liczniku (i ma znak dodatni) - więc ciąg będzie rosnąć do plus nieskończoności!
2. A jak nad wszystkim jest pierwiastek?
3. A... jak zamiast "n do 2" będzie "2 do n"? Robimy to samo! Skracamy przez to, co najszybciej rośnie:
Po ludzku: Granice ciągów
Jeszcze odrobina teorii i przechodzimy do zadań!
1. Zera i nieskończoności w równaniach:
2. Symbole nieoznaczone (jak wyjdzie nam jeden z poniższych wyników... to znaczy, że jeszcze nic nam nie wyszło):
1. Zera i nieskończoności w równaniach:
1.1. Dowolna liczba podzielona przez nieskończoność dąży do zera:
- Jak dzielimy pączka na nieskończoną ilość ludzi, to każdy dostanie... nic. Mniej niż ułamek okruszka.
- Ten ciąg to (1/x, przy x->oo, czyli): 1/1, 1/2, 1/3.... 1/1000... ewidentnie zbliżamy się do 0
- Spójrzmy na wykres funkcji 1/x (z poprzedniego wpisu). Im bardziej na prawo tym bliżej 0.
1.2. Dowolna liczba podzielona przez 0 dąży do nieskończoności:
- Ta funkcja to: (1/x, przy x->0, czyli): 1/1, 1/(1/2), 1/(1/3),... 1/(1/1000)... czyli: 1, 2, 3, ... 1000...
- Spójrzmy na wykres funkcji 1/x. Patrząc od prawej, im bardziej zbliżamy się do zera... tym bardziej wykres idzie w górę, do nieskończoności.
1.3, 1.4. Jak mamy kupon na nieskończoną liczbę jabłek i weźmiemy jeszcze drugie tyle (2*oo) lub dostaniemy jeszcze kilka (oo+5), nadal mamy nieskończoną ilość jabłek.
1.5. Nieskończoność * nieskończoność... nie ma nic większego od nieskończoności, więc musimy mieć nieskończoność.
(Tak naprawdę są większe i mniejsze nieskończoności - zwykła nieskończoność to "alef zero", większa to Continuum.)
2. Symbole nieoznaczone (jak wyjdzie nam jeden z poniższych wyników... to znaczy, że jeszcze nic nam nie wyszło):
2.1. Nieskończoność przez nieskończoność. Jak licznik (to nad kreską) i mianownik (to pod kreską) dążą do nieskończoności - to jeszcze nie wiemy, do czego dąży całość.
Chodzi o to - co dąży do tej nieskończoności szybciej? Jak licznik - to całość pewnie dąży do oo. Jak mianownik - to całość pewnie dąży do 0.
Przykłady ciągów, gdzie licznik i mianownik dążą do oo:
- lim x/x = 1
- lim x/(x!) = 0, bo lim x/(x!) = lim x/(1*2*...*(x-1)*x) = lim 1/(1*2*...*(x-1)) = lim 1/(x-1)! = 0
- lim x!/x = lim (x-1)! = oo
(Dla przypomnienia: x! = 1*2*...*(x-1)*x. W powyższym przykładzie skróciliśmy x.)
2.2., 2.3. Podobnie. Wynik zależy od tego, czy pierwsza część szybciej dąży do 0, czy druga szybciej do nieskończoności / czy licznik szybciej dąży do zera, czy mianownik.
Subskrybuj:
Posty (Atom)